专题特邀：基于方域正交多项式自由曲面的成像系统设计方法_技术资讯_资讯信息

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编者按

《红外与激光工程》编辑部于2023年第7期推出“自由曲面光学系统设计技术”专栏，专栏邀请杨通副教授为其撰写“基于方域正交多项式自由曲面的成像系统设计方法” 研究论文，提出了采用方域内具有正交特性的二维Chebyshev多项式以及二维Legendre多项式进行自由曲面成像系统设计的方法，为常用的有矩形曲面孔径的自由曲面系统设计提供了新思路。（查看全文信息请点击文末“阅读原文”）

撰稿人：杨通

论文题目：基于方域正交多项式自由曲面的成像系统设计方法（特邀）

作者：周丽军，杨通，程德文，王涌天

完成单位：北京理工大学光电学院；北京市混合现实与新型显示工程技术研究中心

导读

自由曲面为光学系统设计带来了新的设计自由度，可以实现性能与参数更高、结构更紧凑的系统。但自由曲面的加工与检测难度较大，应在设计过程中对工艺性进行实时表征与控制。使用正交多项式面型可以较为容易地实现自由曲面同基底曲面矢高差的控制。但目前常用的大多是在圆域内正交的多项式，对于自由曲面离轴非对称系统中曲面常用的矩形孔径或者方形孔径局限性较大。针对以上问题，本论文提出了采用方域内具有正交特性的二维Chebyshev多项式以及二维Legendre多项式进行自由曲面成像系统设计的方法。提出采用正交多项式孔径边缘积分的约束方法，以及采用控制方域正交多项式系数平方和的方法，配合正交多项式系数的其它线性约束，在不明显降低系统成像质量的情况下，实现高效的自由曲面系统设计以及曲面检测难度的实时表征与控制。通过多个不同结构的自由曲面成像系统设计实例，说明了论文中提出的设计方法的可行性与效果。本论文中提出的方法为常用的有矩形曲面孔径的自由曲面系统设计提供了新思路，可以有效提升整个自由曲面系统研制过程的效率。

研究背景

相对于传统球面和非球面，自由曲面在数学描述上有更多的变量，可以用于设计得到像质与指标更高、元件数量更少、体积更小、重量更轻、结构更紧凑的成像系统。在设计自由曲面成像系统过程中，除了要尽可能的提升系统的成像质量，还要考虑曲面的工艺性。自由曲面整体矢高相对于基底球面或者二次曲面的矢高的偏差应该尽量小，如此有利于进行曲面的干涉检测。采用传统的XY多项式自由曲面等，只能通过计算曲面上的离散的特征点处的矢高差并进行控制。如果特征点的数量较多，则系统优化效率低。而采用带有正交性的多项式描述自由曲面则可以更简单地解决以上问题。对于回转对称系统，由于系统中各个曲面的通光孔径一般都是圆形，此时采用常用的Zernike多项式自由曲面等面型即可以实现较好地矢高差控制。但是一般的自由曲面成像系统，其视场多为矩形视场，因此即使系统的孔径光阑为圆形，系统中的其它曲面实际的通光区域基本上也是矩形。此时，如果仍采用在圆域正交的多项式，就需要在矩形孔径的外接圆或者内接圆使用其正交性，对于实际矩形孔径内的矢高差的控制作用有限。

主要内容

用于光学设计的多项式曲面一般有一个球面或者二次曲面基底。多项式自由曲面同基底曲面的矢高差可以描述为多项式的线性组合。矢高差自身的内积运算结果和曲面同基底曲面间矢高差的平方和值相关。通过计算正交多项式系数平方和即可在一定程度上将加工制造评估与内积运算相联系。在优化设计过程中将其添加为约束条件或者引入到评价函数中进行控制，可以实现自由曲面的可检测性实时估计与约束，而基本不会减慢优化设计过程。本文探讨两种常见的Jacobian型方域正交多项式，分别为二维Chebyshev多项式和二维Legendre多项式。

由于Chebyshev多项式的权函数并非常数，而是与自变量相关的函数，因此对Chebyshev多项式自由曲面的矢高差自身进行内积运算时，其结果并不直接为多项式的系数平方和，而是一个比较复杂的函数。直接对系数平方和进行约束来控制面形矢高差并不完善。但仍可以通过控制矩形孔径边缘（四条边）处的矢高差之和为零来降低整个矩形孔径内部的矢高差，降低曲面的检测难度。经过积分和推导发现，孔径边缘矢高差之和与部分系数的线性运算结果相关，在设计优化中可将其等于0添加为约束条件，实现曲面检测难度控制。考虑到多项式中的piston项以及一次幂项（tilt）需控制为零，需要进一步添加系数约束条件，将某些系数的线性组合约束为0。

一维Legendre多项式在区间[?1,1]上相对权函数1正交。二维Legendre多项式通过两个方向上一维Legendre多项式相乘得到。曲面同基底曲面间的矢高差平方和与多项式的系数平方和相对应。在系统优化设计过程中，可以将系数平方和引入到误差函数中，得到系统优化的总误差函数。矩形孔径的Legendre正交多项式自由曲面同样也可以通过控制孔径边缘处的矢高差之和为0，对曲面整体的矢高差进行控制。同时也需要添加某些系数线性组合等于0的约束从而消除由多项式自身带来的piston项以及tilt项。有关上述两种多项式自由曲面在优化过程中的详细约束条件建立方法可查阅论文原文。

为验证前述使用两种自由曲面面型的设计方法的有效性，设计了若干系统实例。实例一是一个自由曲面离轴三反系统。系统有5°×4°的矩形视场，F数为2.5，焦距100mm，工作波段为长波红外。该系统的主镜和三镜实际上是同一个曲面，采用相同的曲面表达式。即主镜和三镜是同一个镜子的不同区域。如此的多面共体设计方案可以大大降低系统的装调难度。系统的共体主三镜以及次镜实际均采用矩形孔径。首先使用XY多项式自由曲面完成系统设计，在此过程中未控制曲面和基底二次曲面的矢高差。接着使用Chebyshev多项式自由曲面进行设计。系统的优化过程中添加曲面孔径边缘矢高差和为零、以及曲面piston和tilt项为0的约束条件。经过优化后，两个系统的光路图如图1(a)和1(b)所示。表1对两个系统的共体主三镜以及次镜进行了曲面同基底曲面间的矢高差PV值（SDPV）以及最大法向偏差（MND）的分析，同时还给出了系统的像质（全视场平均RMS波像差RMS WFE，λ=10000nm）。可以看出，主三镜以及次镜使用Chebyshev多项式自由曲面面型后，同使用XY多项式自由曲面面型相比，像质并未发生明显下降，但曲面同基底面间的矢高差明显减小，曲面面形的检测难度下降。采用Legendre多项式自由曲面进行系统设计也有类似的效果。

图1 设计实例一的光路图。(a) 采用XY多项式自由曲面的系统；(b) 采用Chebyshev多项式自由曲面的系统

表1 设计实例一采用XY多项式自由曲面和Chebyshev多项式自由曲面的曲面矢高差对比和像质

设计实例二为传统zig-zag结构的离轴三反系统。采用8°×6°矩形视场，F数为1.9，焦距57mm，工作波段为长波红外。主镜和三镜实际为矩形孔径。次镜为圆形的孔径光阑，面型始终使用XY多项式自由曲面。针对主镜和三镜，采用XY多项式自由曲面和Legendre多项式自由曲面设计得到的系统如图2所示。系统设计结果对比列于表2（λ=10000nm）。使用XY多项式自由曲面，曲面同基底面间的矢高差PV值以及最大法向偏离均较大。而当将曲面替换为Legendre正交多项式并添加相关约束进行优化后，在保证像质基本一致的前提下，反射面上曲面同基底面间的矢高差PV值以及最大法向偏差明显变小。通过以上实例以及其它多个实例总结得出，基于Legendre多项式自由曲面的数学性质，采用三类约束（采用孔径边缘矢高差之和约束、系数平方和约束以及同时采用两种约束），都可以对自由曲面和基底曲面的矢高差实现较好的控制。从整体来看，同时采用两种约束，矢高差和最大法向偏差降低最为明显，系统加工检测难度整体上改善效果最佳，工艺性最好。

图2 设计实例二的光路图。(a) 采用XY多项式自由曲面的系统；(b)采用Legendre多项式自由曲面并同时添加两类约束条件优化后的系统

表2 设计实例二的采用XY多项式自由曲面和Legendre多项式自由曲面的曲面矢高差对比和像质

结论

为了使自由曲面利于进行高精度的干涉检测（例如采用计算全息方法），自由曲面同基底曲面的矢高差应该尽量小。本文针对自由曲面系统中常见的矩形曲面孔径，研究了基于方域正交的Chebyshev多项式和Legendre多项式的自由曲面成像系统设计方法。根据两种面型的数学表达式以及其性质，推导出基于孔径边缘矢高差控制以及系数平方和控制的相关数学约束方法，可以实现有效且高效地控制矩形孔径自由曲面相对于基底曲面的矢高差，降低曲面的检测难度并提高工艺性。通过多个设计实例验证了提出的方法的有效性。本文提出的方法可以用于各类自由曲面系统的设计与研制。同时，该方法易于在光学设计软件以及其他优化与计算平台和环境进行使用。后续工作将继续研究其他类型的正交多项式在各类系统设计中的应用。

作者简介

周丽军，北京理工大学硕士研究生。主要从事光学设计、自由曲面光学、波导AR显示等方面的研究工作。参与国家重点研发计划课题等项目。发表SCI论文1篇、EI论文3篇。获得授权发明专利1项。

杨通，北京理工大学光电学院长聘副教授/特别研究员，博士生导师。主要研究方向包括光学设计、自由曲面光学、AR显示、衍射与微纳光学等方面。主持国家重点研发计划课题、国家自然科学基金面上项目等多项纵向与横向项目。以第一或者通讯作者在Light: Science & Applications、Photonics Research、Optics Letters等期刊发表论文30余篇。已获得授权发明专利40余项。入选中国科协青年人才托举计划项目，曾获得中国仪器仪表学会金国藩青年学子奖、中国光学工程学会第四届全国光学工程学科优秀博士学位论文等奖励。

程德文，北京理工大学光电学院教授，博士生导师。入选中组部青年拔尖人才计划和国家自然科学基金优秀青年科学基金。研究方向包括光学设计、自由曲面光学、AR/VR头戴显示技术、视光学等。发表论文100余篇，申请专利100余项，包括美国和欧洲发明专利20余项，部分专利成功转化并得到国外知名企业多年付费使用。研制的AR眼镜产生了显著的经济效益和社会价值。承担国家重点研发计划等项目20余项。研究成果获北京市技术发明奖一等奖、中国光学工程学会创新技术一等奖多项科技奖励。

文章信息

周丽军,杨通,程德文,王涌天.基于方域正交多项式自由曲面的成像系统设计方法(特邀)[J].红外与激光工程,2023,52(07):20230317. doi: 10.3788/IRLA20230317

全文链接：http://irla.cn/cn/article/doi/10.3788/IRLA20230317（阅读原文）

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文章转载自微信公众号：光电e+

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